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科学松鼠会 » 希尔伯特之梦，以及梦的破灭
听高软的林德璋老师说，不完备定理是软件工程的理论基础，说明需求文档是无法用形式化的语言来完成的，必须借助自然语言，因此有了浓厚的兴趣。又看到一篇有关哥德尔不完备定理的文章，但这篇文章的主题确为希尔伯特计划，至少感情上如此。这是篇好文，很全面地介绍了希尔伯特计划和哥德尔定理的产生历史，文笔也很不错的样子，所以忍不住摘抄一些转载于此。 回想当年小弟也有为科学献身的崇高理想，到如今还是破灭了，现在最多为软件工程献身而已。没有勤奋的学习和过人的资质，数学是肯定没法搞透彻的，数学研究还是免了，不过高深的理论好像有种特殊的魅力，能够让人作一点思考。 一个天才质疑了另一个天才，并最终证明：数学家研究的“有意义”的数学命题也可能是不可判定的。 Wir müssen wissen, wir werden wissen. 我们必须知道，我们必将知道。 你听到的，正是80年前，1930年，希尔伯特在他退休时演讲的最后六个单词，也是鼓舞一代数学家的六个单词。尽管当时第三次数学危机仍然阴魂不 散，但他们坚信，数学大厦的基础是坚实的。他们也坚信，任何数学真理，只要通过一代又一代人的不断努力，都能用逻辑的推理将其整合到数学的大厦中。 这是何等的气魄！这是何等的梦想！ 但就在演讲前夕，他的同胞哥德尔，作出了一个断言，彻底打碎了这个梦。
数学是不可完全的 ——哥德尔的哲学手稿
请允许我发一个试验贴，而且搞得莫测点，谢谢。当然这也是出于对哥德尔的一点崇拜！ 黎晖 出处：《自然辩证法研究》 1998年04期 （网上查询得到）详见http://www.lunwentianxia.com/qikan_detail_qis/2516/ 作者：刘晓力 文章来源：转载 点击数：142 更新时间：9/25/2005 在20 世纪逻辑学家和数学家行列中哥德尔是一位具有传奇色彩的人物。他所作的三大数学贡献的每一项结果对数理逻辑各分支的发展都是决定性的。自1931年哥德尔 不完全性定理之后，数学基础逐渐演变为数理逻辑各分支的精细研究，同30年代前人们都关心基础研究的状况形成对照，数理逻辑愈益成为少数数学家的专门技术 领域。可以不夸张地讲，哥德尔使数理逻辑发生了革命，哥德尔规定了我们这个时代数学基础研究的思维内涵。然而，长期以来鲜为人知的事实是，哥德尔不仅是一 位伟大的逻辑学家、数学家，还是一位深刻的哲学家。在整个学术生涯中，他只有1929—1942年主要从事数学和数理逻辑的研究，从1942年直到 1978年逝世，除了继续集合论问题思考并倾注5年时间热衷于相对论外，几乎大部分时间致力于哲学研究。 哥 德尔生前只发表过5篇哲学论文：《罗素的数理逻辑》（1944）、《纪念普林斯顿200周年数学问题会议评论》（1946）、《什么是康托的连续统问 题？》（1947）（1964年修订）、《关于相对论与唯心主义哲学之间关系的一点评论》（1949）、《论有穷主义观点迄今未予应用的一种扩充》 （1958）（1972年修订），他的大部分思想表达在手稿、通信和私人谈话记录中。1981年哥德尔去世3年后，他的妻子将其遗稿全部捐赠美国普林斯顿 研究院。其中包括哥德尔未发表的论文手稿、演讲稿、授课讲义、各类札记和哥德尔自己编号的100多本笔记（注：哥德尔遗稿已由约翰·道森1984年完成编 目，分为12类：①私人信件和科学通信；②商业信函和其他信件；③分专题记录的笔记本；④演讲稿和论文手稿；⑤札记和便笺；⑥其他书写模糊的草稿；⑦从小 学到大学的学历材料；⑧法律和政治文件；⑨1930—1939年间的财务文件；⑩就医记录；①①照片；①②其他。）。当代最有影响的美国哲学家蒯因说：哥 德尔手稿的发现堪称“哲学界一大新闻”，（注：奎因为Kurt G＠①del,Unpublished Philosophical Essays 所写的序言，1995，p.7.）它使世人得以更深刻地了解哥德尔在哲学领域的所思、所想、所为。目前《哥德尔全集》已出版1～3卷，其中1995年的第 3卷中收录了他的几篇重要哲学手稿：《数学基础研究现状》（1933）、《关于数学基础的几个基本定理及其哲学推论》（1951）、《数学是语言的句法 吗？》（1953/9）、《从哲学的观点看数学基础的现代发展》（1961）。这几篇手稿无疑提供了哥德尔思想研究珍贵的原始资料。 1《数学基础研究的现状》 在 应邀为美国数学会1933年年会准备的报告稿《数学基础研究的现状》中，哥德尔首先指出，为数学建构基础的问题由两个不同的方面构成，其一是使数学家一直 使用的证明方法归约为最小数目的公理和推理规则；其二是探求这些公理的某种合法性问题，例如，它们是否彼此一致、是否与经验事实一致。依哥德尔之见，第一 方面的问题通过数学的“形式化”已经令人满意地部分获解，但第二方面问题的解决其“形势极端不能令人满意”。原因在于，如果像形式主义者那样，以纯形式的 观点把数学仅仅看作符号游戏，当然不会产生问题，一旦问到符号的意义时就会面临一系列困难。它们大致归为三类：（1）对非构造性存在的看法；（2）对（任 意类型的）类的一般看法；（3）选择公理问题。Kurt G＠①del，Collected Works（简记CW）Ⅲ,p.48.对此三个问题的考察哥德尔引出了他的柏拉图主义数学哲学立场。这种立场显然建立在对形式主义、直觉主义以及罗素无类 论的批判基础之上。 直 觉主义者认为，在无穷域中使用排中律导致非构造性存在证明，因此大可质疑。为了消除所有集合论悖论和语义悖论，1905年罗素通过摹状词理论，建立了无类 论或分支类型论，并于1910年在与怀特海合著的《数学原理》中作了系统阐述。哥德尔认为“按照这一理论，类永远不能作为真实的对象存在，而且包含这个词 … 继续阅读